http://metalogue.jugem.jp/?eid=1823 より
■５つのプラトン立体の間には、<正４面体⇔正４面体>、<正６面体⇔正８面体>、<正12面体⇔正20面体>という３組の双対関係があった。すでに見たように正逆２つの正４面体を自己相貫させるとケプラーの星型８面体となり、内部に正８面体、外部に正６面体ができた。そしてこの正６面体と正８面体を中接球共有で相貫させると、正８－６相貫体となり、内部にベクトル平衡体、外部に菱形12面体ができた。
■同様に正12面体と正20面体を中接球共有で相貫させると正20－12相貫体という立体なる。この２立体の内部にできる重畳部分は20-12面体となり、外部の32頂点を結ぶと菱形30面体という多面体ができる。またここで新たに内と外にできる３つの対性、つまり<正６面体⇔正８面体>、<ベクトル平衡体⇔菱形12面体>、及び<12・20面体⇔菱形30面体>もまた、面点変換が可能な双対立体の関係にあるのである。
■これらプラトン立体における３組の双対関係は、中心に双対立体の相貫体を置き、上下に外部と内部にできる立体を置くことで、同じ５つで１つというペンターブの構造を持つものとして捉えることができる。なおベクトル平衡体と菱形12面体はプラトン立体ではなくアルキメデス立体なので中接球は存在しないが、共に24本の線があるので上手く全ての線同士を直交させることで相貫体を作ることができる。
■なお<正４面体⇔正４面体>の相貫体の全ての頂点をつないでできる正６面体の各面は対角線の比率が１：１の正方形である。また<正６面体⇔正８面体>の相貫体の外側にできる菱形12面体の各面は対角線比が１：√２の菱形である。そして<正12面体⇔正20面体>の相貫体の外側にできる菱形30面体の各面は、対角線比が１：φの菱形からできている。こう並べると正方形が菱形の特別形であることが分かる。
プラトン立体と３－４－５
■互いに面点変換できる双対の関係が３種あることから、自身と双対である正４面体を１つでなく２つと数えることにより、プラトン立体の種類を５種ではなく６種として扱う捉え方もある。これとは別にプラトン立体そのものを「３－４－５」として見る捉え方にも２つの系統がある。それを表の「１つの面の正多角形の角数」と「１つの頂点に集まる線の数」として示した部分でもう少し詳しく見てみよう。
■正４面体を１種と捉えても２種と捉えてもよいが、プラトン立体は大きく２つのグループに分けられる。まず<正４面体・正６面体・正12面体>のグループでは、その各面の形がそれぞれ順に<正３角形・正４角形・正５角形>になっている。そしてもう一方の<正４面体・正８面体・正20面体>のグループの面の形はみな正３角形だが、各頂点に集まる線の数はそれぞれ<３本・４本・５本>になっているのである。
■では６以上の数は有り得ないのだろうか。各面が正６角形だとどこまでも正６角形で埋め尽くされて平面になってしまい、内と外を分ける立体にはならない。また各点に６本の線が集まると、同様に正３角形で埋め尽くされる平面となってしまって立体にはなり得ないのである。なお１つの点に１本の線、２本の線が集まっても面は作れないし、同様に１角形２角形は存在しないので、１と２もないのである。
■３,４,５と言えば辺長比が３：４：５の「ピュタゴラスの直角３角形」が連想される。この３角形はまた「エジプトの３角形」とも呼ばれている。古代のエジプト人が毎年起こるナイル川の氾濫の後に、間隔が等距離の13個の結び目がついたロープを用いて測地していたという説がある。その真偽の程はさて置いても、この３角形は実際にギリシア人よりエジプト人の方が先に知っていたことは確実らしい。
■この開いたままなら13の結び目が閉じると12となるということも、12と13の捉え方の違いに通じるだろう。この辺長比が３：４：５のエジプトの直角３角形の３辺の和は12であり、３辺の積は60となる。シュメール・バビロニア及びエジプト起源と考えられている12－60進法の１つの基本的概念の目に見える形であろう。またこの３辺の２乗の和は50、積は3600であり、また３乗の和は６の３乗の216に等しい。
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