http://metalogue.jugem.jp/?eid=1821 より
■正４面体も含む５つのプラトン立体にはみな３種類の接球がある。この３接球を正４面体を例に見ていこう。図左の球体は正４面体の全ての頂点とだけで接する外接球であり、中央の球体は正４面体の全ての線心（線の中央）と接する中接球であり、右の球体がこの正４面体の全ての面心（面の中央）と接する内接球である。これら３接球の半径比率は、外接球：中接球：内接球＝√３：１：√３／３である。
■平方根で表現すると感覚的に分かり難い人のために表現を変えると、外接球と内接球の半径比は３：１であるということだ。したがってこの２つの接球の表面積比は９：１、体積比は27：１となる。もしくはルービックキューブの全体と１ピースの関係と考えれば分かりやすいだろう。なお中接球半径を１とした時、外接球と内接球の半径比は逆数の関係になっているので、掛け合わせると中接球の１になる。
■ところで正４面体そのものを内側に面点変換すると、小さな逆向きの正４面体ができるが、この小さな正４面体の外接球は最初の正４面体の内接球と同じである。また逆に外側に面点変換すれば、変換後の大きい正４面体の内接球は最初の正４面体の外接球と重なる。このミクロ・マクロ双方向に繰り返す面点変換のそれぞれの間に中接球が入り込むのだが、連続する中接球の半径比は…９：３：１…である。
■３つの接球の１つである中接球を共有させて、２つの正４面体を対称的な位置で相貫させてみよう。するとこの２つの正４面体の６辺同士がすべて直交して、ケプラーの星型８面体と呼ばれる図の中央の形になる。この図からも正４面体の６本の線は、外接球を共有する正６面体のすべての面の対角線となっていること、そして元の正４面体の中接球がこの正６面体の内接球になっているが分かるだろう。
■図の中央は同じくケプラーの星型８面体だが、この８つの頂点を結んでできる正６面体を強調したのが左図であり、相貫した２つの正４面体の重畳する部分が正８面体であることを強調したのが右図である。左側の正６面体は中央の星型正８面体の外接球を共有し、右側の正８面体は外接球を星型正８面体の中接球と共有している。またこの中央の図を取り去れば、正６面体と正８面体の面点変換の図になる。
正６面体－正８面体の系の体積比
■プラトン立体やアルキメデス立体などには、その面・点・線や角度や比率などの関係性はあるが、本来固定した大きさや体積というものはない。１辺が１ナノメートルでも１天文単位に設定しても正４面体は正４面体であり、その２面角や中心角や回転対称軸は変わらない。それでも１つの立体の辺長や接球半径を固定することで、立体同士の間の整然とした空間占有比（体積比）を見て取ることができる。
■私たちが最も馴染み深い空間の３軸直交を体現している正６面体を、体積６の基本フレームとして見ていこう。まずこの正６面体に内接する正８面体を想定すると、その体積比は基本単位の１となる。次に正６面体にはまり込んでいる正４面体を考えると、その体積比は２となる。またこの正４面体の自己相貫体であるケプラーの星形８面体の体積比は３となる。正８面体は２つの正４面体の重畳部である。
■最初に基本フレームとした正６面体の各線心（線の中心）を結んでできるベクトル平衡体の体積比は５である。また正６面体と12個の線心同士で直交する正８面体の体積は８となる。そしてこの体積比が６：８＝３：４の正６面体と正８面体の相貫体は体積比が９である。最後にこの正８・６相貫体の頂点を結んでできる立体は菱形12面体と言い、体積比は12である。なんとも整然とした体積比の関係である。
■正４面体の双対立体は自分自身だから、正４面体を自己相貫させた形のケプラーの星型８面体の重畳部分に正８面体があり、頂点を結んでできる立体が正６面体で、体積比は１：３：６である。また双対立体である正６面体と正８面体の相貫体は正８・６相貫体で、その重畳部分がベクトル平衡体であり、頂点を結んでできる立体が菱形12面体である。こちらの体積比は５：９：12となっている。
■プラトン立体には外・中・内の３接球がある。これらの体積比を３接球を介して見ることもできる。体積比が１：６の正８面体と正６面体の関係は、正８面体の外接球が正６面体の内接球と等しい。このように双対立体の面点変換とは、互いの内接球と外接球を介してミクロ・マクロ双方向にも無限連結させられることが分かる。つまり双対立体とは２つで１つのトーラス体のようなものとも解せられよう。
■体積比１の小さい正８面体の外接球は正４面体の中接球でもあるので、正４面体の中にはまり込んでいるようにも見える。正４面体と正６面体は外接球を共有しているが、正４面体の中接球は小さい正８面体の外接球であり、正６面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。また正６面体と中接球を共有させた正８面体の体積は８であり、中接球を共有させて相貫させた正８・６相貫体の体積は９である。
■10進法もしくは12進法を用いている私たちの目には、そしてこの正６面体を基本の体積６としたこの系もまた、ちょうどその２倍の体積12である菱形12面体をもって１つの臨界を迎えている。なおこの自然数で見て取れる体積比の関係には、４と７に相当する美しい立体は見当たらない。このことは電子の配置や空間の対称性と共に、直接ではないが音楽で言うところの「ヨナ抜き音階」を連想させられる。
■音楽関係者には釈迦に説法だが、ヨナ抜き音階とは五音音階の１つである。明治時代に洋楽の７音階をドレミファ…ではなく、ヒ・フ・ミ・ヨ・イ・ム・ナと称したが、この第４音（ファ）と第７音（シ）を抜いたド・レ・ミ・ソ・ラの音階のことだ。西洋中心の便宜的な俗称であり、詳細は避けるがいくつかのタイプがあり、アジア各地，ヨーロッパ周辺部，米インディアン等の音楽の特徴となっている。
■アルキメデス立体には正４面体の各辺の１／３部分から各頂点部を切り取った切頭４面体という立体があり、その双対立体に三方４面体という立体がある。正６面体の重心から各面を介して内部を外側に反転させた形でもある菱形12面体のように、正４面体の重心から各面を介して内部を外側に反転させて体積が２倍になった立体は体積比４である。この立体は三方４面体に実によく似ているが微妙に異なる。
■遥か昔に、半田kohsen氏と基本の立体は何かという話をしたことがある。彼はヌーソロジーの流れから、基本の中心核となる立体は正８面体になると言い、私はバックミンスター・フラーの多面体構造に対する考え方を元に正４面体ではないかと話した。以来長いこと多面体や幾何学的な話をしていないが、今ではどちらも正しいことが分かる。そして数は１でも２でもなく３から始まるのだということも。
■バックミンスター・フラーは多面体の基本単位を、直交３軸の正６面体の１辺ではなく正４面体の１辺にすべきだと主張している。確かに正４面体の１辺を基本の１として辺長が等しい正４面体と正８面体を考えれば体積比が１：４であることや、同じく正４面体とベクトル平衡体の体積比が１：20であることは複雑計算をしなくても見て取れる。どちらの考え方も自在に使えれば自由度はさらに増すだろう。
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