https://www.slideshare.net/matsumoring/20160816-65068526 より
1. 正多面体の不思議 2016.8.16 第1回お笑い数学教室@大阪 松森 至宏
2. 内容 正多面体という綺麗な図形を題材に、 簡単な計算をしてみましょう！驚きの結果が得られます◎ 小ネタにも使えますよ() 目次 1.正多面体の紹介 2.部品の数を数えよう 3.角度を計算しよう
3. 1.正多面体の紹介
4. 1-1.正多面体 正多面体は5つしかない。（B.C.3世紀 Euclidの原論） 正四面体 正六面体 （立方体） 正八面体 正十二面体 正二十面体 Euclid
5. 1-2.四元素との対応 ・Euclidの原論以前から哲学者Platonは正多面体を知っていた。 ・Platonは各正多面体に四元素（火、水、土、風）を対応させた。 ・正多面体はPlatonの立体とも呼ばれる。 Platon
6. 本日の豆知識 • 体が大きく肩幅が広かったため、レスリングの先生に 「大きい」という意味のあだ名でPlatonと呼ばれていた。 • 本名はAristoclesという。 • 「ジャイアン」と同じ。 Platonという名前はあだ名だった！ T.Goda
7. 1-3.正四面体 • Platon曰く「火」 …最も尖っているから • 牛乳パック
8. 1-4.正六面体（立方体） • Platon曰く「土」 …最も安定しているから • サイコロ
9. 1-5.正八面体 • Platon曰く「風」 …コマのように回るから • 蛍石
10. 1-6.正十二面体 • Platon曰く「宇宙」 …対応するものがなく困ったから • パズルなど…
11. 今日のポイント Ex1. 女「私のこと好き？」 男「宇宙一好きだよ◎」 女「♡」 Ex2. 女「この服似合う？」 男「宇宙的でいいね◎」 女「♡」 Ex3. 女「集合全体の集合って集合なの？」 Ex2. 男「1つ宇宙を固定して考えます」 女「♡」 困ったら「宇宙（universe）」を持ち出せ！
12. 1-7.正二十面体 • Platon曰く「水」 …最も転がりやすいから • ウイルスの頭
13. 2.部品の数を数える
14. 2-1.正四面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①－②＋③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2
15. 2-2.正六面体（立方体） ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①－②＋③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2
16. 2-3.正八面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①－②＋③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2
17. 2-4.正十二面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①－②＋③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2 20 30 12 2 ※ 点の数：5×12÷3＝20 ※ 辺の数：5×12÷2＝30
18. 2-5.正二十面体 ① 点の数 ② 辺の数 ③ 面の数 ④ ①－②＋③ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 4 6 4 2 8 12 6 2 6 12 8 2 20 30 12 2 ※ 点の数：3×20÷5＝12 ※ 辺の数：3×20÷2＝30 12 30 20 2
19. 2-6.Eulerの定理 • 2の正体：球面のEuler数 膨らませると球面になる多面体なら2 • ドーナツのEuler数は0 g個穴が空くと（種数g）Euler数は2-2g L.Euler 種数0 種数1 Euler数は図形の「つながり方」を表す量！
20. 3.角度を計算する
21. 3-1.正四面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°－⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720°
22. 3-2.正六面体（立方体） ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°－⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720°
23. 3-3.正八面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°－⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720°
24. 3-4.正十二面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°－⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720° 324° 36° 720°
25. 3-5.正二十面体 ⑤ 1頂点に 集まる角度 ⑥ 角不足 360°－⑤ ⑦ 全頂点分 ①×⑥ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 180° 180° 720° 270° 90° 720° 240° 120° 720° 324° 36° 720° 300° 60° 720°
26. 3-6.Descartesの定理 • 角不足の意味：多面体の曲がり具合 • 720°＝2×360° 2の正体：球面のEuler数 R.Descartes つながり方とまがり方が関係している！
27. 向きづけられた閉曲面𝑀のEuler数𝜒とGauss曲率𝐾に対し以下の式 が成り立つ。 𝑀 𝐾𝑑𝑆 = 2𝜋𝜒 3-7.Gauss-Bonnetの定理 定理（Gauss-Bonnet） Descarteの定理は次の一般的な定理の離散的な場合に対応。
28. 本日の結論 大数学者Gaussは… C.F.Gauss T.Kitano ビートたけしに似てる!!
29. ご清聴ありがとうございました！
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